Fibonacci, matematica e natura nella chiesa di San Nicola – Pisa
Fr.·. Curatore
A Pisa, in via Santa Maria, la strada maestra che dai Lungarni porta a Piazza dei Miracoli ed alla Torre Pendente, sorge una chiesa romanica che risale al XIII secolo progettata da Nicola Pisano e dedicata a San Nicola, protettore dei marinai. In seguito ad un recente restauro, nella lunetta posta sul portale sono tornate a splendere delle interessanti figure: misteriosi fiori, geometrie esoteriche, quadrature di cerchi magici, simboli diafani; un messaggio non letto per più di 800 anni[1].
Secondo il prof. Pietro Armienti, docente di petrologia e petrografia dell’Università di Pisa, queste geometrie rappresentano un esplicito riferimento alla celebre serie di numeri di Leonardo Pisano (Pisa, 1175-1235 circa) meglio noto come Fibonacci (filius Bonacci, il figlio di Bonaccio), considerato uno dei più grandi matematici di tutti i tempi.
La più importante opera di Fibonacci è il “liber abaci” e la terza parte del Liber abaci, portò all’introduzione dei numeri di Fibonacci e della sequenza di Fibonacci, per i quali è ricordato ancora oggi.
Nel 1223, Leonardo risolse uno dei problemi che l’imperatore Federico II di Svevia pose:
«Un certo uomo mette una coppia di conigli in un posto circondato su tutti i lati da un muro. Quante coppie di conigli possono essere prodotte da quella coppia in un anno, se si suppone che ogni mese ogni coppia genera una nuova coppia, che dal secondo mese in avanti diventa produttiva?».
Fibonacci, vinse la gara con una risposta così rapida da far persino sospettare che il torneo fosse truccato.
Ecco la soluzione:
Per natura ogni coppia di conigli genera in un mese un’altra coppia, e cominciano a procreare a partire dal secondo mese di vita. Il primo mese c’è solo una coppia di conigli, il secondo mese ce ne sono 2 di cui una fertile, quindi il terzo ce ne sono 3 di cui 2 fertili, quindi il quarto mese ce ne sono 5 di cui 3 fertili, quindi il quinto mese ce ne sono 8 di cui 5 fertili e così via. Nasce così la celebre successione di Fibonacci: 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … i primi 2 elementi sono 1, 1; ogni altro elemento è dato dalla somma dei due che lo precedono.
Secondo il suo studio “The medieval roots of modern scientific thought. A Fibonacci abacus on the facade of the church of San Nicola in Pisa” e pubblicato sul Journal of Cultural Heritage, le eleganti simmetrie dell’opera sono un richiamo diretto alle scoperte del matematico pisano:
“Per secoli i segni del tempo avevano reso illeggibili gli intarsi della facciata della chiesa, la cui costruzione, che risale all’inizio del XIII secolo, viene da molti attribuita a Nicola Pisano – commenta il professore – Dopo il restauro, il messaggio intarsiato nella lunetta del portale è emerso in tutti i suoi dettagli e ha permesso di dimostrare che il pregevole manufatto, che ha comportato il lavoro congiunto di matematici, teologi, artigiani, celebra le intuizioni che segnarono a Pisa la nascita di una scuola di pensiero capace di trasformare la visione medievale del mondo e di fare della città la culla del pensiero scientifico moderno”.
Per Armienti, il riferimento non potrebbe essere più esplicito e collega direttamente l’intarsio all’opera del grande matematico o a una cerchia di suoi diretti collaboratori o allievi: “L’intarsio di fatto è un abaco per rappresentare numeri irrazionali come p o il rapporto Aureo f, oltre che per calcolare con un’ottima approssimazione i lati dei poligoni regolari inscritti nel cerchio diametro maggiore. Si tratta dunque di un importante monumento la cui presenza era stata concepita per l’educazione delle élite, secondo il programma della filosofia scolastica: un dono prezioso della sapienza degli antichi giunto dopo ottocento anni di oblio e la cui presenza va valorizzata”.
“Se si assume come unitario il diametro dei cerchi più piccoli dell’intarsio, i più grandi hanno diametro doppio, i successivi triplo, mentre quelli di diametro 5 sono divisi in spicchi nei quadratini ai vertici del quadrato in cui è inscritto il cerchio principale, quello centrale ha diametro 13 mentre il cerchio che circoscrive i quadratini negli angoli ha diametro 8. Gli altri elementi dell’intarsio disposti secondo tracce circolari individuano circonferenze di raggio 21 e 34, infine il cerchio che circoscrive l’intarsio ha diametro 55 volte più grande del circolo minore. 1,2,3,5,8,13,21,34,55 sono i primi nove elementi della successione di Fibonacci”.
Immagine dell’intarsio tratta dall’articolo di P. Armienti
I simboli rappresentati seguono una successione numerica dotata di una singolare proprietà matematica che prosegue all’infinito: ogni elemento (a partire dal secondo) è uguale alla somma dei due precedenti.
Secondo Pietro Armienti: “il messaggio scolpito nella lunetta del portale dimostra che l’intarsio di fatto è un abaco per rappresentare numeri irrazionali come il Rapporto Aureo oltreché per calcolare con un’ottima approssimazione i lati dei poligoni regolari inscritti nel cerchio di diametro maggiore”.
Fino al XIX secolo a questa successione non fu attribuita l’importanza dovuta, finché si scoprì che può essere applicata, fra l’altro, nel calcolo delle probabilità, nella sezione aurea e nel triangolo aureo.
L’attenzione sicuramente più significativa va dedicata alla Sezione Aurea che rappresenta il punto di divisione di un segmento in modo tale che il rapporto tra le due parti, la più piccola con la più grande, sia uguale al rapporto della parte più grande con tutto il segmento. Tale rapporto è un numero irrazionale le cui mirabili proprietà matematiche erano conosciute dall’antichità più estrema. Poiché esso indica uno sviluppo di crescita costante, espresso con una spirale che si sviluppa all’infinito, era considerato il sigillo del principio creativo, che si osserva riprodotto infinite volte in natura, dalla disposizione dei germogli e dei semi nelle piante ala spirale delle conchiglie dei molluschi alla conformazione dei cristalli, ed era venerato come espressione diretta del potere divino. La gran parte degli edifici sacri esibiscono in qualche modo nelle loro proporzioni la Sezione Aurea.
(Secondo le parole di Galileo Galilei: molto bella da l’idea del forte legame che c’è tra matematica, natura
“La matematica è l’alfabeto in cui Dio ha scritto l’Universo. La filosofia naturale è scritta in questo grandissimo libro che continuamente ci sta aperto innanzi agli occhi, io dico l’universo, ma non si può intendere se prima non s’impara a intender la lingua e conoscer i caratteri nei quali è scritto. Egli è scritto in lingua matematica, e i caratteri son triangoli, cerchi ed altre figure geometriche, senza i quali mezzi è impossibile a intenderne umanamente parola; senza questi è un aggirarsi vanamente per un oscuro labirinto.”)
Dunque la Successione di Fibonacci ed il Rapporto Aureo presenti nella lunetta della chiesa di san Nicola rappresenterebbero un riuscito esercizio della scienza del XIII secolo di associare Matematica e Natura.
“Dietro queste realtà così disparate si nasconde sempre lo stesso numero irrazionale comunemente indicato con la lettera greca φ. Una proporzione scoperta dai pitagorici e calcolata da Euclide chiamata da un trattato di Luca Pacioli divina proporzione e in seguito sezione aurea” [2]
Il numero φ, detto numero aureo, è definito come il rapporto tra due grandezze disuguali la cui somma è media proporzionale tra la minore e la loro somma:
( a + b ) : a = a : b
Tale rapporto vale approssimativamente 1,618.
Ora, una spirale logaritmica in cui il rapporto costante tra i raggi consecutivi è pari a φ si dice aurea; il rapporto fra un numero della successione di Fibonacci e il suo precedente è, al limite, (per n che tende ad infinito) pari a φ.
Il rapporto aureo è quindi l’anello di congiunzione tra la natura e la matematica, il punto di incontro tra la suprema armonia del cosmo e il modello che lo rappresenta.
La spirale di Fibonacci è creata mediante l’unione di quadrati con i lati equivalenti ai numeri della successione di Fibonacci: se si disegna un rettangolo con i lati in rapporto aureo fra di loro, lo si può dividere in un quadrato e un altro rettangolo, simile a quello grande nel senso che anche i suoi lati stanno fra loro nel rapporto aureo. A questo punto il rettangolo minore può essere diviso in un quadrato e un rettangolo che ha pure i lati in rapporto aureo, e così via. La curva che passa per vertici consecutivi di questa successione di rettangoli è una spirale che troviamo spesso nelle conchiglie e nella disposizione dei semi del girasole e delle foglie su un ramo.
Questo numero “magico” era conosciuto fin dall’antichità ed è certo che lo conoscessero Pitagora ed i suoi discepoli che lo chiamavano “Proporzione Divina”.
Nella civiltà Greca troviamo l’uso della sezione aurea nel Partenone di Atene, nel tempio di Atena a Paestum, nelle statue di Fidia, solo per citare le opere più note.
Troviamo poi la sezione aurea nel famoso “Uomo Vitruviano” di Leonardo da Vinci e nella Venere del Botticelli.
I costruttori delle Cattedrali Medioevali usavano costantemente la sezione aurea.
Anche la natura sembra prediligere i numeri di Fibonacci: il rapporto tra l’altezza di un essere umano e l’altezza da terra dell’ombelico è la sezione aurea, così come il rapporto tra il braccio e l’avanbraccio.
Anche la musica ha numerosi legami con la matematica e si ritiene che centrale in essa sia il ruolo della Sezione Aurea.
Nel pianoforte per esempio, particolare rilievo viene dato alla struttura della tastiera, in special modo con parallelismi fra i numeri di questa e quelli di Fibonacci.
I 13 tasti delle ottave, distinti in 8 bianchi e 5 neri, a loro volta divisi in gruppi da 2 e 3 tasti ciascuno: 2, 3, 5, 8, 13 appartengono infatti alla successione di Fibonacci.
Sia le sue proprietà geometriche e matematiche, che la frequente riproposizione in svariati contesti naturali e culturali, apparentemente non collegati tra loro, hanno suscitato per secoli nella mente dell’uomo la conferma dell’esistenza di un rapporto tra macrocosmo e microcosmo, tra Dio e l’uomo, l’universo e la natura: un rapporto tra il tutto e la parte che si ripeteva all’infinito tra la stessa parte più grande e la più piccola, e così di seguito attraverso ulteriori suddivisioni.
Diversi filosofi ed artisti sono arrivati a cogliervi col tempo un ideale di bellezza e armonia, spingendosi a ricercarlo e, in alcuni casi, a ricrearlo nell’ambiente antropico quale “canone di bellezza”; testimonianza ne è la storia del nome che in epoche più recenti ha assunto gli appellativi di “aureo” o “divino”.
L’Ermetismo pone in assoluta rilevanza la Sezione aurea, poiché rappresentando la Divina Proporzione, ne racchiude l’Armonia Universale.
[1] A. Albano,The Fibonacci Sequence and the Golden Section in a Lunette Decorationof the Medieval Church of San Nicola in Pisa, Territori della Cultura, n. 21 ottobre2015 (printed in 2016), pp. 48-59.
[2] Mario Livio, La sezione aurea. Storia di un numero e di un mistero che dura da tremila anni
Mario Livio Editore: BUR Biblioteca Univ. Rizzoli 2012EAN: 9788817057431
